Vous avez dit bizarre … comme c'est bizarre …

(être ou ne pas être nul, telle est la question)

À l’heure de l’algorithmique au lycée, on ne peut évidemment pas faire l’impasse sur l’algorithme qui détermine l’existence et la valeur des racines d’un trinôme. C’est un standard qui ne pose aucune difficulté aux élèves de première qui ont été initiés à l’algorithmique et à la programmation en seconde. Encore que … les deux « Si …Alors … Sinon … » imbriqués en laissent encore quelques-uns perplexes.

En voici la version de base, programmée sur Algobox :

 

code de l'algorithme

Comme il se doit, on teste le bon fonctionnement de l’algorithme avec des valeurs pour lesquelles la sortie est connue :

Tout va bien.

 

On peut quand même se demander pourquoi les deux valeurs affichées dans le troisième exemple ne sont pas arrondies avec la même précision alors qu’ils ont la même partie décimale. En effet, les arrondis à 10-8 près sont :

 

   =  1- √5   -0,61803399     et 
  = 1+ √5
x1 —————— x2 ——————  1,61803399
  2    2    

 

En fait, Algobox affiche les valeurs avec 8 chiffres significatifs et non pas à 10-8 près. Pour x1, la partie entière étant 0, la partie décimale peut utiliser les 8 chiffres disponibles. L’arrondi se fait donc effectivement à 10-8 près. Pour x2, la partie entière est 1, donc consomme un chiffre significatif, il n’en reste que 7 pour la partie décimale. Or l’arrondi à 10-7 près de xest x2 1,6180340. Le dernier chiffre étant 0 il n’est pas écrit, il n’y a donc plus 6 chiffres affichés après la virgule. Donc rien d’étrange dans tout cela. D’ailleurs la calculatrice fait la même chose, avec 10 chiffres significatifs au lieu de 8:

Mais provoquons un peu notre algorithme en le poussant dans ses retranchements. Qu’en est-il lorsque ∆ est nul avec au moins un des coefficients irrationnel.

Par exemple, nous savons que (x-√n)2 = x2-2(n)x+n et que n est la seule racine.

Testons avec n=2 et n=3 :

Gasp ! Il trouve respectivement 2 et 0 racines…

Bon, ce n’est pas très difficile de comprendre ce qu’il se passe. Il suffit de rajouter après la ligne 12 l’affichage de la valeur de . Avec les mêmes trinômes, on obtient alors :

Dans le 1er cas nous avons  ∆=1,7763568 x 10-15 > 0 et, dans le 2ème cas ∆=-1,7763568 x 10-15 < 0.

Évidemment, dans les deux cas, la valeur de ∆ affichée est très proche de 0 et d’un ordre de grandeur de 10-15.

Mais, chose curieuse, les deux valeurs de ∆ affichées par Algobox pour les trinômes (x-2)² et (x-3)² sont … exactement opposées ! Bizarre … Je lance ici un défi : quelle en est l’explication ? (Répondre à Rémy Coste)

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°159 décembre 2013

La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS

Nantes 2017

Les inscriptions sont possibles jusqu’au dimanche 15 octobre (tarif préférentiel jusqu'au samedi 16 septembre)

 

Le groupe M.:A.T.H.

Le groupe M.:A.T.H. (Mathématiques : Approche par des Textes Historiques) poursuit ses séances de lecture de textes historiques.

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Des postes pour la formation des professeurs des écoles en mathématiques à l'ESPE de l'académie de Versailles sont à pourvoir au 1er septembre 2017.

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Algorithmique au bac S 2012

Dans le n°154 des Chantiers de Pédagogie Mathématique de Septembre 2012 , un article de Dominique Baroux et de Cécile Prouteau à propos des exercices d’algorithmique du bac S 2012

 

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samedi 24 juin 2017