Oui ou Non

Question n°8 (n°159 de décembre 2013) :

Existe-t-il des triangles rectangles à côtés entiers dont l’aire et le périmètre sont mesurés par le même nombre…

 

6 réponses ! : Le succès… mais c’était facile et pour le 1er de l’an on prend toujours des bonnes résolutions.

Et en plus les méthodes proposées sont différentes.

 

  • La méthode la plus basique (utilisée par Francis Slawny et moi-même) :

    Soit un triangle de côté a, b et c vérifiant a²+b² = c² et ab = 2(a+b+c).
    En éliminant c entre ces 2 égalités on obtient :

    (4c² = ) a²b²+4a²+4b²-4a²b-4ab²+8ab = 4a²+4b²
    D’où ab(ab-4a-4b+8) = 0 et comme ab non nul il reste :
    a(b-4) = 4b-8 d’où a = (4b-8)/(b-4) = 4 + 8/(b-4).
    a ne peut être entier positif que si b-4 divise 8 ce qui est obtenu pour b=5, b=6, b=8 ou b=12 ce qui donne respectivement a=12, a= 8, a= 6 ou a=5 mais dont il ne reste finalement (en intervertissant le rôle de a et b) que 2 solutions :(5, 12, 13) ou (6, 8, 10).

 

  • Un peu plus élaborée : l’utilisation des triplets pythagoriciens par Émile Sinturel, Jean Couzineau, Kristel Gabarra-Lazorthe et Daniel Djament (avec pour certains une petite confusion entre triplets pythagoriciens «primitifs» (m²-n², 2mn, m²+n²) et tous les triplets pythagoriciens qui sont des multiples des «primitifs» ce qui est d’ailleurs ici sans conséquences). Voici donc la solution efficace de Daniel Djament :

    Si a, b, c sont les mesures des côtés, il existe des entiers, k, m et n tels que a=k(m²-n²), b=2kmn et c= k(m²+n²)
    a+b+c=ab/2 équivaut à 2k(m²+mn)=mnk²(m²-n²)
    soit 2=kn(m-n) qui n'est possible avec des entiers naturels que si (k=n=1 et m=3), (k=m=2 et n=1) ou (k=1, n=2 et m=3).
    Les deux premiers cas donnent le triangle (6, 8, 10) et le troisième le triangle (5, 12 ,13) qui répondent à la question
    car 6+8+10=6x8/2=24 et 5+12+13=5x12/2=30.

  • Et plus originale enfin la solution d’Hélène Brion :
    Concernant la question 8, le problème est très simple si on se souvient de la relation liant dans un triangle l’aire A, le périmètre p et le rayon r du cercle inscrit : 2A=pr
    Pour que A=p il faut et suffit que rayon du cercle inscrit soit 2. Ce qui limite de manière drastique le problème. Un petit coup de GeoGebra : un cercle de rayon 2 tangent aux deux axes du repère, un point A d'abscisse entière, on trace la tangente au cercle passant par A qui rencontre l'axe des ordonnées en B. Par symétrie on peut ne traiter que les cas où OA < OB. Il faut prendre xA supérieur à 4, on essaie 5 et on obtient le triangle rectangle 5, 12, 13, on essaie 6 et on obtient le triangle rectangle 6, 8, 10, si xA est supérieur ou égal à 7, OB < OA. Il n'y a donc que 2 triangles à côtés entiers dont l'aire et le périmètre sont mesurés par le même nombre.
    Remarque : les triangles trouvés par GeoGebra ne sont pas des approximations. Pour s'en convaincre sans calcul lourd, il suffit d'utiliser une propriété du triangle rectangle c=a+b-2r. Les deux triangles donnés sont bien rectangles (Pythagore) et a+b-c vaut bien 4.
    Vous pouvez essayer la manipulation GeoGebresque sur la figure ci-dessous (en déplaçant le point A) :
  • Enfin Émile Sinturel (en 2e version) nous propose une autre solution vraiment très originale :

Qu’en pensez-vous ? Peut-on choisir les unités de longueur et d'aire indépendamment l'une de l'autre ? Est-ce bien raisonnable ?

 

En fait j’avais eu l’intention de poser en question 8 :

 

QUESTION n° 8 bis
« Existe-il beaucoup de pavés à arêtes entières dont l’aire et le volume soient mesurés par le même nombre »
mais l’utilisation de l’adverbe beaucoup l’excluant des OUI ou NON pour le ranger dans la catégorie des « indécidables » j'y ai renoncé, ce qui toutefois ne doit pas vous empêcher pas d'essayer de le résoudre.
 

 

Et pour la prochaine fois...

question 9

Alain Bougeard

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