Vous avez dit bizarre … comme c'est bizarre …

À la limite !        

Cette saga des bizarreries produites par les outils électroniques avait été initiée par le témoignage de Sébastien Dassule, dans lequel il relatait un « incident » lors de la correction d’un exercice, tout aussi inopiné qu’instructif, et pédagogiquement intéressant. Il s’agissait de la représentation graphique d’une fonction obtenue sur une calculatrice graphique, non conforme au résultat d’un calcul. Un autre collègue (André Brousseau, de Carcassonne), avait fait part il y a déjà longtemps (en 1997 !), d’un autre exemple du même type, que je revisite aujourd’hui avec Geogebra (grapheur et tableur).

 

Soit la fonction définie sur R par f(x) = e-ln(1+ex) . On démontre que f est strictement décroissante sur R, que sa limite en - ∞ est 1 et en + ∞ est 0. Cela se « vérifie » (ou se conjecture) aisément comme le montre la copie d’écran ci-dessous obtenue avec le grapheur de Geogebra :

L’intervalle sur lequel f est représentée est environ [-5 ; + 5]. Il est courant de se contenter d’un tel intervalle pour être rassuré sur les résultats des calculs effectués … Une plus grande curiosité peut faire déchanter. Par exemple en élargissant l'intervalle d'observation :

Manifestement, autour de -35 , il se passe quelque chose d'imprévu. Bizarre …

 

Pour mener des investigations, utilisons le tableur :

Lorsque l’on regarde le tableau de valeurs (valeurs entières dans [-40 ; -15]), deux problèmes surgissent : d’une part certaines images sont supérieures à 1, d’autre part, pour des valeurs inférieures à -37 environ, les images sont nulles, contredisant la stricte décroissance et la limite. Lorsque l’on regarde le graphe, ces deux observations se retrouvent, mais on constate également entre -31 et -37 environ, une discontinuité surprenante et des arcs de courbes d’amplitude croissante.

L’explication des images nulles à partir d’une certaine valeur est classique : Lorsque eest inférieur à un certain seuil, l’approximation de la somme 1 + ex pris en compte par le tableur est égale à 1, celle de ln(1+ ex) est alors égale ln(1) à c'est-à-dire 0. D’où la valeur nulle de f(x). On l'a vu précédemment, le seuil pour les calculatrices numériques, les tableurs Excel et Calc, est 10-14. Qu'en est-il pour le tableur de Geogebra ?

 

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°161 juin 2014

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Le groupe M.:A.T.H.

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samedi 24 juin 2017