Le trou du cube

Pas de réaction à la suite de la publication de la 1ère partie de ce passionnant feuilleton. Voici donc la deuxième partie qui sera en fait la seconde, partie essentiellement due à  à Erwan Adam et ses tortues

2e PARTIE : CALCUL DU VIDE…

Tout a commencé par l'envoi d'une note (sommaire) en réponse à la question posée traitée en toute généralité avec un cube d'arête a et des trous de rayons R.

Jugez plutôt :

 

 

Bon, ben voilà...

Le découpage du cube en 8x3x2=48 morceaux semble compréhensible mais ne fait pas clairement apparaître  les quarante-huitièmes de trou décrit en dessous. 

Heureusement qu'Erwan a dressé 48 tortues pour nous faire assister à l'éclatement du trou :

 

trou_du_cube.mp4
Fichier Audio/Vidéo MP4 4.4 MB

Dans un des tétraèdres troué OACO'A'C', on considère un point L du trou dont la projection K sur le plan z = 0 a pour coordonnées polaires r et θ (l'axe des x étant porté par la droite OA)

Soit N la projection de point L sur le plan x=0;

LN = OH  = r cosθ (c'est la distance entre les plans parallèles (HKL) et x=0 )

KL = LN comme appartenant au plan bissecteur des plans x=0 et z=0.

D'où KL = r cosθ et bien sûr K'L = a/2 - rcosθ.

Voila donc la formule éclaircie...


Maintenant si vous avez pris goût au percement du cube vous pouvez recommencer en perçant celui-ci selon ses 4 diagonales du et continuer avec un tétraèdre régulier en le perçant perpendiculairement au centre des 4 faces (et en débouchant sur le sommet opposé) et continuer avec l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre réguliers.

Méthode originale de visiter de l'intérieur les 5 polyèdres platoniciens !


Alain Bougeard

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°164 mars 2015

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Le groupe M.:A.T.H.

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