À la découverte des pavages :

 

 

Un pavage est un recouvrement du plan sans espace (1) et sans chevauchement (2). 

 

(1) Sans espace : « il n’y a pas de trou »

 

(2) Sans chevauchement : « les figures ne sont pas l’une sur l’autre »

 

 

Principe du carrelage, papier peint… mais sans les contraintes des bords (on part vers l’infini).

 

Il y a une infinité de façons de paver le plan mais les pavages les plus intéressants sont ceux dans lesquels on détecte une règle de construction et des symétries. On veut aussi que les sommets soient « contre » des sommets, et qu’on ait le même agencement autour d’un sommet quel que soit le sommet (en gros, cela signifie que si on fait du carrelage, on veut que chaque coin ne touche que d’autres coins et que si on regarde un coin, la façon dont les carreaux sont mis est la même partout.)

 

En maths, pour étudier un problème, on commence souvent par les cas les plus simples : ici, le pavage avec des polygones. Nous avons commencé par étudier les pavages réguliers.

 

I. Pavages réguliers

 

Les pavages réguliers  sont les pavages formés d’un seul type de polygones réguliers.

 

Question 1 : Avec quel type de polygones réguliers peut-on paver le plan ? (Une seule forme de polygone)

 

Nous avons chacun construit :

- un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de 3 cm, 

- un carré inscrit dans un cercle de 3 cm, 

- un pentagone inscrit dans un cercle de 3 cm,

- un hexagone régulier inscrit dans un cercle de 3 cm,

- et un octogone inscrit dans un cercle de 3 cm.

 

Pour cela, nous avons tracé un cercle de 3 cm de rayon puis nous avons utilisé le cours sur les angles au centre d’un polygone régulier.

 

Voici un exemple de réalisation de Raphaël (élève de 3e) :

Puis par groupe de 4, nous avons cherché avec quel type de polygone on peut paver le plan. 

 

Nous avons trouvé qu’on peut seulement utiliser 3 types de polygones réguliers : des triangles équilatéraux, des carrés et des hexagones réguliers. 

 

C’est bien beau les collages mais encore faut-il démontrer ce que nous avons trouvé et pensé que nous n’avons pas construit tous les types de polygones possibles !

 

Voici la démonstration que nous avons élaborée ensemble :

 

Nous nous sommes intéressés à ce qu’il se passe autour d’un sommet. 

Comme nous ne voulons

  • qu’un seul type de polygone régulier,
  • qu’il doit y avoir un nombre entier de polygones autour d’un sommet,
  • que tous les angles d’un polygone régulier ont la même mesure,
  • qu’un angle plein mesure 360°,

on en déduit que la mesure de l’angle du polygone doit être un diviseur de 360.

 

C’est parti pour trouver tous les diviseurs de 360 :

Comme : 360 = 1 x 360

360 = 2 x 180

360 = 3 x 120

360 = 4 x 90

360 = 5 x 72

360 = 6 x 60

360 = 8 x 45

360 = 9 x 40

360 = 10 x 36

360 = 12 x 30

360 = 15 x 24

360 = 18 x 20

Nous en déduisons que les diviseurs de 360 sont :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 et 360.

Eh oui ! Ça fait beaucoup ! 

 

Nous avons commencé par la fin…

Nous avons vite éliminé l’angle de 360 et 180 qui ne peuvent pas nous donner de polygone régulier.

 

120° est l’angle d’un hexagone régulier. Comme 3 x 120 = 360, trois hexagones juxtaposés forment un angle plein.

 

 

90° est l’angle d’un carré. Comme 4 x 90 = 360, quatre carrés juxtaposés forment un angle plein

72° ne correspond pas à l’angle d’un polygone régulier. 

60° correspond à l’angle d’un triangle équilatéral. Comme 6 x 60 = 360, six triangles équilatéraux juxtaposés forment un angle plein.

 

Nous avons ensuite remarqué que plus un polygone a de côtés, plus la mesure de son angle est grande. (Cela s’explique par la formule du cours qui donne la mesure de l’angle d’un polygone : 360 - 180/n  où n est le nombre de côtés. Plus n est grand, plus  180/n est petit et donc plus la différence sera grande.)

Donc comme nous allons dans l’ordre décroissant des mesures d’angles et que nous sommes arrivés à un triangle et qu’il n’y a pas de polygone régulier ayant moins de côtés qu’un triangle, nous pouvons conclure que nous avons trouvé tous les cas possible.

 

D’ailleurs, nous avions essayé avec des pentagones et octogones sans succès. 

 

Au Palais de la Découverte, Robin (l’animateur de l’exposé « Pavages et symétrie » auquel nous avons assisté) nous l’a réexpliqué :

Il nous a demandé avec quelle forme pouvons-nous faire un pavage. Nous avons brillamment répondu : triangles équilatéraux, carrés et hexagones réguliers. 

Mais il était plus difficile de se souvenir pourquoi ce n’était pas possible d’en avoir d’autres…

 

Il nous rappelle que plus il y a de côtés à un polygone, plus son angle est grand. 

Il nous a fait remarquer qu’il nous faut 3 hexagones (6 côtés) et 4 carrés (4 côtés) pour faire un angle plein. Que si on pouvait paver un plan avec un pentagone, il en faudrait donc plus que 3 mais moins que 4, ce qui n’est pas possible ! Et il a conclu comme nous avec le triangle…

 

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°170 septembre 2016

La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS

Nantes 2017

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Le groupe M.:A.T.H.

Le groupe M.:A.T.H. (Mathématiques : Approche par des Textes Historiques) poursuit ses séances de lecture de textes historiques.

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Dans le n°154 des Chantiers de Pédagogie Mathématique de Septembre 2012 , un article de Dominique Baroux et de Cécile Prouteau à propos des exercices d’algorithmique du bac S 2012

 

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