III. Autres pavages

 

Robin (l’animateur du Palais de la Découverte) nous a posé d’autres questions :

 

Question 3 : Peut-on paver avec n’importe quel triangle ?

 

Après avoir réfléchi sur les triangles rectangles et les triangles isocèles, nous avons réalisé qu’en effectuant une symétrie centrale de n’importe quel triangle par rapport au milieu d’un de ses côtés, on obtient un parallélogramme. Et il est facile de paver avec des parallélogrammes.

Question 4 : Peut-on paver avec n’importe quel quadrilatère ?

On vous laisse réfléchir à cela… N’hésitez pas à faire des figures sur Geogebra…

 

Question 5 : Peut-on paver avec n’importe quel pentagone ?

La recherche de pavages avec des pentagones est l’objet de recherches actuelles par les mathématiciens. Elle a une histoire originale.

 

Mme Revellin a retrouvé l’histoire que Robin nous a racontée dans l’article de Samuel Petite dans le bulletin vert 518 de l’APMEP (p.191 à 198). En voici un extrait (p.193-194) :

« En 1968, un mathématicien professionnel R.B. Kershner publie une classification de tous les pavages par des pentagones. Il les classifie en 8 familles. Le brillant vulgarisateur M. Gardner explique ce résultat dans la célèbre revue Scientific American en 1975. 

Deux amateurs, Richard James III (un informaticien) et Marjorie Rice (une femme au foyer), en regardant l'article en découvrent deux de plus. Le théorème de Kerschner était donc faux ! 

 

En fait, Kerschner avait annoncé son résultat sans donner de preuve car il la jugeait longue et laborieuse. Il devait la publier quelque part, mais malheureusement ne l'a jamais fait.

Par la suite M. Rice, ainsi que d'autres personnes, ont continué à rechercher des pavages par des pentagones. Très récemment (2015) C. Mann, J. MacLoud-Mann, D. Von Derau ont trouvé, par une recherche exhaustive sur ordinateur, une autre famille de pavages par pentagones. On connait à présent 15 familles de pavages par des pentagones (image ci-dessous). On ignore si cette liste est complète, ou même finie. »

IV. Classification par les « symétries » (ou transformations)

 

En étudiant les pavages, nous  nous apercevons que certains ont la même structure.

Mais quelle méthode trouvée pour savoir quels pavages se ressemblent ?

L’idée des mathématiciens est d’étudier leurs symétries, appelées aussi transformations.

  • Combien d’axes de symétrie a la figure de base ?
  • Quels déplacements puis-je faire avec la figure de base pour qu’avant et après le mouvement, elle ait toujours la même forme ?

Remarque : dès que la figure « tourne », il y a pas d’axe de symétrie, comme par exemple le zellige que nous avons étudiée et reproduite (voir plus loin) qui s’appelle PAJARITA. 

Quand on étudie des pavages, on regarde toutes les symétries de chaque pavage et si deux pavages ont les mêmes symétries, on dit qu’ils sont de la même famille.

Les mathématiciens ont su démontrer qu’il n’existe seulement que 17 familles de pavages.

Au Palais de la découverte, nous avons vu la notation de John Conway. 

Voir par exemple le site de ACL Kangourou :

          https://www.geogebra.org/m/sSMAr2Cc

qui permet de comprendre et de trouver la notation correspondant à un pavage.

 

On peut aussi adopter la notation utilisée en cristallographie. 

Voir par exemple, le site de Thérèse Eveilleau : 

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/jeux_mat/textes/pavage_17_types.htm 

 

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°170 septembre 2016

La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS

Concours 2017-2018

Le thème est « Maths et mouvements ».

Nantes 2017

Les inscriptions sont possibles jusqu’au dimanche 15 octobre (tarif préférentiel jusqu'au samedi 16 septembre)

 

Le groupe M.:A.T.H.

Le groupe M.:A.T.H. (Mathématiques : Approche par des Textes Historiques) poursuit ses séances de lecture de textes historiques.

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dimanche 3 septembre 2017